Общий подход к построению помехоустойчивых кодов

Допустим, необходимо закодировать некоторое число сообщений M равномерным K-ичным кодом. Каждое сообщение должно отождествляться с некоторым K-ичным числом разрядности n. Необходимо выбрать такое n, чтобы выполнялось условие

M ≤ Kⁿ. (1)

Если (1) имеет вид равенства

M = Kⁿ, (2)

то все возможные K-ичные числа используются для кодирования. При этом кодовые комбинации имеют длину n_min = m, где m – число информационных элементов. В этом случае код не обладает избыточностью, так как любая, даже одиночная ошибка способна переделать одну кодовую комбинацию в другую.

Из всего изложенного следует, что для построения помехоустойчивого кода выражение (1) должно обязательно иметь вид неравенства

M < Kⁿ, (3)

причем n > m. Число элементов n в кодовой комбинации должно позволить получить M’ разных чисел (M’ > M).

Тогда в принципе можно отобрать из M’ чисел для кодирования только M по определенным правилам. Это комбинаций носят название рабочих, или разрешенных. Оставшиеся – запрещенные (нерабочие). В результате можно получить код, который позволяет обнаруживать ошибки (когда на приемной стороне фиксируется одна из запрещенных комбинаций) или исправлять их (когда на приемной стороне фиксируется запрещенная кодовая комбинация как наиболее похожая на одну из разрешенных). Для построения помехоустойчивого кода необходимо некоторое количество избыточных элементов k = n – m (m = log_KM). Избыточность R – количественная мера, позволяющая сравнивать различные коды по степени их оптимальности. Наиболее оптимальным будет такой код, который обеспечивает заданную помехоустойчивость при минимальной избыточности.