Алгебраическая теория кодирования
Алгебраическая теория кодирования основана, в основном, на высшей алгебре, в частности на теории полей Галуа (приводимых по некоторому модулю). Основным достижением этой теории является разработка линейных кодов, которые основаны на теории линейных пространств.
Линейное пространство - множество элементов, в котором введено понятие расстояния, или метрики. В теории кодирования в качестве элементов линейного пространства рассматриваются кодовые комбинации, а понятие расстояния понимается в смысле расстояния Хемминга, то есть как кодовое расстояние между двумя кодовыми комбинациями.
Среди линейных кодов наиболее хорошо разработана теория групповых кодов.
Групповые коды основаны на теории групп. Группа - некоторое множество элементов, объединенных общим законом композиции. Это означает, что существует некоторая операция G, которая, будучи применена к двум любым элементам группы, дает элемент этой же группы. Другими словами, группа - множество элементов, замкнутых относительно операции G. Примеры: множество целых нечетных чисел есть группа относительно операции умножения (мультипликативная группа); множество целых четных чисел есть группа относительно операции сложения (аддитивная группа) и относительно операции умножения (мультипликативная группа), то есть множество целых четных чисел является универсальной группой. Вообще говоря, элементом группы может быть что угодно. В теории кодирования элементами группы являются двоичные кодовые комбинации фиксированной длины n. В настоящее время разработана, в основном только теория двоичных кодов. В качестве операции G выбрана операция суммирования по модулю два ⊕. Таким образом, рассматривается аддитивная группа.
В любой группе особо выделяются два элемента. В аддитивной группе такими элементами являются следующие элементы.
- Нулевой элемент - элемент, который при действии операции G на него и на любой элемент группы дает этот элемент группы.
- Обратный элемент - элемент, который будучи объединенным по операции G с другим элементом группы, дает в итоге нулевой элемент. В данном случае кодовой комбинацией, обратной данной, является она же.
 |
 |
 |
