Декодирование групповых кодов

Для декодирования групповых кодов используется так называемая проверочная матрица кода H размерности k x n.

Матрица H называется проверочной для группового кода с порождающей матрицей V, если каждая строка H ортогональна любой строке матрицы V:

В общем случае H может быть найдена методом подбора, но для групповых кодов с заданной канонической порождающей матрицей легко получить матрицу H в следующем виде:

Сам процесс декодирования группового кода состоит в том, что принимаемая кодовая комбинация b рассматривается как матрица-строка и умножается векторно на H^T:

Если b – рабочая комбинация, то результат R – ненулевая матрица-строка.

Если b не является рабочей комбинацией, а представляет собой результат наложения вектора ошибки (b = a ⊕ e_i), то

то есть R_i не зависит от вида принимаемой рабочей комбинации, а определяется только вектором ошибки.

Обобщая все вышеизложенное, можно определить алгоритм декодирования групповых кодов в двух основных режимах: в режиме обнаружения ошибок и в режиме исправления ошибок.

1. Режим обнаружения ошибок.

Если [R] = [0], то разрешается декодирование b = a, где b – принятая кодовая комбинация, a – рабочая кодовая комбинация.

Если [R] ≠ [0], то обеспечивается защитный отказ.

2. Режим исправления ошибок.

Для всех возможных векторов ошибки e_i исправляемой кратности s определить
.   (R_i – синдром e_i.)
Все результаты занести в таблицу.

Если каждому вектору ошибки однозначно соответствует свой синдром, то можно исправлять ошибки по алгоритму.

Алгоритм исправления ошибок в кодовых комбинациях группового кода (принцип синдромного декодирования):

1. принятую комбинацию b = a ⊕ e_i умножить векторно на H^T:
   
2. в таблице найти синдром R_i и определить соответствующий ему вектор ошибки e_i;
3. найденный вектор ошибки сложить по модулю два с принятой комбинацией:
   b ⊕ e_i = a ⊕ e_i ⊕ e_i = a;
4. декодировать a как безошибочную исходную рабочую комбинацию.